L’École doctorale : Mathématiques Hadamard

et le Laboratoire de recherche SAMOVAR – Services répartis, Architectures, Modélisation, Validation, Administration des Réseaux

présentent

l’AVIS DE SOUTENANCE de Monsieur Jules FLIN

Autorisé à présenter ses travaux en vue de l’obtention du Doctorat de l’Institut Polytechnique de Paris, préparé à l’Institut Polytechnique de Paris Télécom SudParis en : 

Mathématiques Appliquées

« Invariants de Tutte, problèmes frontière et mouvement brownien réfléchi »

le JEUDI 24 SEPTEMBRE 2026 à 14h00 

à 

Salle C06 
Télécom SudParis, 9 Rue Charles Fourier, 91000 Évry-Courcouronnes

Membres du jury :

M. Sandro FRANCESCHI, Maître de conférences, Institut Polytechnique de Paris Télécom SudParis, FRANCE – Directeur de thèse
Mme Hélène GUÉRIN, Professeure, Université du Québec à Montréal, CANADA – Rapporteur
M. Julien ROQUES, Professeur, Lyon 1 Université, FRANCE – Rapporteur
M. Alin BOSTAN, Directeur de recherche, Université de Paris-Saclay (INRIA), FRANCE – Examinateur
Mme Manon DEFOSSEUX, Maîtresse de conférences, Université Paris Cité, FRANCE – Examinateur
Mme Eva LÖCHERBACH, Professeure, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, FRANCE – Examinateur
Mme Sara MAZZONETTO, Maîtresse de conférences, Université de Lorraine, FRANCE – Examinateur

Invité :

Mme Marie ALBENQUE,  Directrice de recherche, Université Paris Cité, FRANCE – Codirectrice de thèse

« Invariants de Tutte, problèmes frontière et mouvement brownien réfléchi »

présenté par Monsieur Jules FLIN

Résumé :

Le mouvement brownien réfléchi dans un quadrant, et plus généralement dans des cônes polyédriques, a été introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 1980 comme limite d’échelle en théorie des files d’attente. Depuis lors, l’étude théorique de ce processus suscite une grande attention au sein de la communauté probabiliste. Plus récemment, une méthode issue de la combinatoire, initialement développée par Tutte et basée sur la notion d’invariant, a été adaptée à l’étude de ces diffusions réfléchies. Cette approche s’avère particulièrement puissante pour étudier les équations fonctionnelles satisfaites par les transformées de Laplace de certaines fonctions associées au processus. La méthode des invariants de Tutte permet en effet d’en obtenir des solutions explicites dans un grand nombre de cas et, en la combinant à la théorie de Galois des équations aux différences, de déterminer la nature différentielle et algébrique de ces transformées, autrement dit, la classe d’équations différentielles dont elles sont solutions. Dans un contexte où le processus peut être absorbé à l’origine en temps fini, nous montrons au Chapitre 2 comment cette approche permet de calculer explicitement la probabilité d’un tel événement. Le Chapitre 3 est dédié à la détermination de la mesure invariante du processus, lorsque sa matrice de covariance est dégénérée. Enfin, dans le Chapitre 4, nous calculons la mesure invariante d’un mouvement brownien réfléchi dans le demi-plan supérieur, soumis à des réflexions constantes de part et d’autre de l’origine. Pour ce faire, nous nous appuyons sur la théorie des problèmes frontière. Cette approche analytique nous permet également d’étudier précisément les asymptotiques de sa densité.
Abstract :

Reflected Brownian motion in a quadrant, and more generally in polyhedral cones, was introduced by Harrison, Reiman, Varadhan, and Williams in the 1980s as a scaling limit in queueing theory. Since then, the theoretical study of this process has attracted significant attention within the probability community. More recently, a combinatorial method originally developed by Tutte and based on the notion of invariants was adapted to the study of these reflected diffusions. This approach proves particularly powerful for studying the functional equations satisfied by the Laplace transforms of certain functions associated with the process. Indeed, Tutte’s invariant method yields explicit solutions to them in a large number of cases and, when combined with the Galois theory of difference equations, enables the determination of the differential and algebraic nature of these transforms, that is, the class of differential equations of which they are solutions. In a context where the process can be absorbed at the origin in finite time, we show in Chapter 2 how this approach allows for the explicit computation of the probability of such an event. Chapter3 is dedicated to determining the invariant measure of the process when its covariance matrix is degenerate. Finally, in Chapter 4, we compute the invariant measure of a reflected Brownian motion in the upper half-plane, subject to constant reflections on both sides of the origin. To do so, we rely on the theory of boundary value problems. This analytical approach also enables us to precisely study the asymptotics of its density.