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Accueil > Productions scientifiques > HDR

Soutenance HDR de M. Marc Castella,"Non linéarités et (in)dépendance statistique dans les problèmes de reconstruction de signaux"

Soutenance d’Habilitation à diriger des Recherches (HdR) de Monsieur Marc Castella qui se tiendra :

mardi 21 décembre 2021 à 10h30,
salle 1A318-1A322, 19 place Marguerite Perey 91120 Palaiseau

La soutenance sera également retransmise par visio-conférence zoom, accessible
via le lien suivant :

https://telecom-paris.zoom.us/j/93528658474?pwd=TE1XVkplKzVOU2RyT3lUUDF4S1VaUT09

Le jury est composé de :

- Karim Abed-Méraim (rapporteur), Professeur des universités, Université d’Orléans
- Cédric Févotte (rapporteur), Directeur de Recherche CNRS, Istitut de Recherche en
Informatique de Toulouse (IRIT), Université de Toulouse
- Nicolas Le Bihan (rapporteur), Directeur de Recherche CNRS, Gipsa-Lab (UMR
5216), Grenoble
- Philippe Loubaton, Professeur des universités, Université Gustave Eiffel
- Tulay Adali : Distinguished University Professor in the Department of Computer
Science and Electrical Engineering at Universit of Maryland, Baltimore County
(UMBC)

L’intitulé de l’exposé est : Non linéarités et (in)dépendance statistique dans
les problèmes de reconstruction de signaux.

Résumé :

Le fil conducteur des recherches présentées est la reconstruction de signaux,
avec des développements d’une part autour de la question de l’indépendance ou
dépendance statistique entre signaux et d’autre part autour du thème de la non
linéarité. Les outils méthodologiques utilisés ont porté sur les thèmes des
polynômes, de l’optimisation, et la combinaison des deux. Les trois axes suivis
sont précisés ci-dessous.

1-Extraction de signaux dans un mélange


Dans cette première direction, un modèle de dégradation multidimensionnel est
considéré et les composantes du vecteur des signaux inconnus sont supposées
mutuellement indépendantes avant de subir un mélange. L’étude concerne
précisément l’extraction d’un des signaux sources à partir de leur mélange
convolutif. Dans une approche semi-aveugle, ont été considérées des dépendances
statistiques et non linéaires entre le signal à extraire et un (ou des)
signal(aux) auxiliaire(s) dits de « référence ». Une généralisation d’un résultat
d’identification à l’ordre deux a été proposée, qui concerne l’utilisation de
statistiques d’ordre supérieur combinées avec des signaux « de
référence ». D’autre part, il a été possible de mieux comprendre une technique
pour maximiser un contraste. Cette technique été proposée pour l’extraction de
sources dans des mélanges convolutifs linéaires et elle a pu être interprétée
comme un algorithme d’optimisation. Au travers d’une similitude avec les
méthodes Majoration-Minoration, une preuve de convergence vers un point
stationnaire du critère a pu être donnée. L’ensemble de ce travail a ajouté une
vue cohérente et fourni une conclusion à mes antérieurs.

2-Mélanges de sources dépendantes et non linéarité


Cette deuxième direction a pour point de départ des systèmes de mélange
polynomiaux. Sont considérées la question de l’inversibilité d’une part, et
d’autre part la représentation d’une transformation polynomiale par un système
linéaire équivalent. Les propriétés de cette représentation linéaire équivalente
ont été utilisées, notamment le fait qu’interviennent des signaux provenant de
monômes supplémentaires. Dans le cas où les signaux inconnus sont mutuellement
indépendants, ces monômes supplémentaires sont eux, au contraire,
statistiquement dépendants. Dès lors, il est apparu la nécessité de traiter le
cas de signaux statistiquement dépendants dans un mélange linéaire
multidimensionnel, lequel s’éloigne du cas usuel de la séparation aveugle de
sources. Des modèles de signaux inconnus dépendants sont considérés dans cette
même partie. Leurs propriétés et les possibilités de reconstruction dans un
cadre aveugle sont étudiées dans deux catégories de situations : dépendance
polynomiale de type algébrique dans le vecteur, ou dépendance statistique
induite par un modèle original à variables cachées.

3-Optimisation polynomiale pour la reconstruction


Dans cette dernière partie est abordée la reconstruction de signaux dégradés par
une fonction rationnelle et non linéaire. Pour la reconstruction, des critères
d’adéquation et de régularisation eux aussi rationnels sont utilisés.
L’avantage de critères polynomiaux ou rationnels réside dans la possibilité de
considérer des résultats d’optimisation récents appelés hiérarchie des
moments/Sum of Squares (SoS). La technique consiste en une hiérarchie de
relaxations convexes du problème sous forme de programmation semi-définie (SDP :
Semi-Definite Programming). Une des forces de l’approche est d’offrir des
garanties d’optimalité globale. Son utilisation pratique est toutefois largement
limitée par la charge de calcul. Une solution pour la réduire consiste à
exploiter la structure du problème d’optimisation de départ, ce qui est
réalisé dans cette partie et dans un contexte de reconstruction de signal. Pour
terminer, un lien est examiné dans cette même partie entre le problème de
décomposition d’un tenseur symétrique et le problème d’extraction d’une solution
au problème d’optimisation relaxé de l’approche moments/SoS.